条件的探究
，引进了群的概念
。19世纪20～30年代。阿贝尔和伽罗华开创了近代代数学的研究 。近代代数是相对古典代数来说的，古典代数的内容是以讨论方程的解法为中心的`
。群论之后 ，多种代数系统(环 、域
、格、布尔代数 、线性空间等)被建立。这时
，代数学的研究对象扩大为向量
、矩阵，等等 ，并渐渐转向代数系统结构本身的研究 。

上述两大事件和它们引起的发展
，被称为几何学的解放和代数学的解放。

19世纪还发生了第三个有深远意义的数学事件：分析的算术化
。1874年威尔斯特拉斯提出了一个引人注目的例子，要求人们对分析基础作更深刻的理解。他提出了被称为“分析的算术化”的著名设想 。实数系本身最先应该严格化 ，然后分析的所有概念应该由此数系导出
。他和后继者们使这个设想基本上得以实现
，使今天的全部分析可以从表明实数系特征的一个公设集中逻辑地推导出来。

现代数学家们的研究，远远超出了把实数系作为分析基础的设想 。欧几里得几何通过其分析的解释 ，也可以放在实数系中;如果欧氏几何是相容的，则几何的多数分支是相容的
。实数系(或某部分)可以用来解群代数的众多分支;可使大量的代数相容性依赖于实数系的相容性。事实上
，可以说：如果实数系是相容的，则现存的全部数学也是相容的 。

19世纪后期 ，由于狄德金、康托和皮亚诺的工作
，这些数学基础已经建立在更简单 、更基础的自然数系之上
。即他们证明了实数系(由此导出多种数学)能从确立自然数系的公设集中导出。20世纪初期，证明了自然数可用集合论概念来定义 。因而各种数学能以集合论为基础来讲述
。

拓扑学开始是几何学的一个分支 ，但是直到20世纪的第二个1/4世纪
，它才得到了推广。拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究 。科学家们认识到：任何事物的集合，不管是点的集合
、数的集合、代数实体的集合 、函数的集合或非数学对象的集合 ，都能在某种意义上构成拓扑空间。拓扑学的概念和理论
，已经成功地应用于电磁学和物理学的研究
。

数学手抄报